Ta članek bo raziskal, kaj je ortonormirana osnova matrike in kako jih najti v MATLAB-u z uporabo orth() funkcijo.
Kaj so ortonormirane osnove matrike
V linearni algebri je ortonormirana osnova vektorskega prostora V, ki ima končno dimenzijo, sta osnova, ki ima ortonormirani vektorji kje za ortonormirani vektorji sta enotska vektorja, ki sta pravokotna drug na drugega, kar pomeni, da je njihov produkt enak nič.
Razmislite o vektorjih dveh enot x in y, ki bosta pravokotna drug na drugega, če “x.y=0” . Ta dva vektorja imenujemo tudi ortonormirani vektorji .
Zakaj moramo izračunati ortonormalno osnovo
Ortonormirana osnova je uporaben v smislu iskanja projekcije vektorja na drug vektor ali iskanja razdalje med obema vektorjema. Uporabimo lahko tudi an ortonormirana osnova zmanjšati napako zaokroževanja v naših simulacijah in edini razlog za to je, da so vektorji v ortonormirani bazi neodvisni drug od drugega, zato se napaka v enem vektorju ne more razširiti na druge vektorje. Poleg tega je iskanje koordinat in izvajanje linearne transformacije veliko lažje, če je naša osnova ortonormirana.
Kako najti ortonormirano osnovo matrike v MATLAB?
V MATLAB-u lahko najdemo ortonormirana osnova z uporabo vgrajenega orth() funkcijo, ki je odgovorna za določanje ortonormirana osnova dane matrike. Ta funkcija sprejme matriko kot obvezen parameter in zagotovi matriko kot izhod, ki vsebuje ortonormirana osnova dane vhodne matrike.
Sintaksa
The orth() Funkcijo je mogoče implementirati v MATLAB z naslednjimi sintaksami:
Q = smer ( A,tol )
tukaj,
- Funkcija Q = orth (A) je odgovoren za določanje ortonormirana osnova za obseg A, kjer stolpci izhodne matrike Q predstavljajo ortonormirana osnova matrike A in pošljejo neželeno pošto obseg matrike A. Poleg tega je rang A enak številu stolpcev Q.
- Funkcija Q = orth(A,tol) je odgovoren za določanje ortonormirana osnova za območje A, ki določa toleranco. Singularne vrednosti vhodne matrike A, ki so manjše od tolerance, se obravnavajo kot nič, kar vpliva na število stolpcev Q.
Primer 1: Kako najti ortonormirano osnovo matrike polnega ranga v MATLAB?
Ta koda MATLAB določa ortonormirana osnova dane kvadratne matrike A velikosti n=3 z uporabo orth() funkcijo. Ta koda najde tudi rang matrike A z uporabo uvrstitev () funkcijo za preverjanje, ali je vhodna matrika polnega ranga.
A = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;r = uvrstitev ( A )
Q = smer ( A )
Primer 2: Kako v MATLAB-u izračunati ortonormirano osnovo matrike s pomanjkljivim rangom?
V tem primeru uporabljamo orth() funkcija za iskanje ortonormirana osnova dane matrike s pomanjkljivim rangom A. Matrika A je s pomanjkljivim rangom, ker rang(K)
r = uvrstitev ( A )
Q = smer ( A )
Primer 3: Kako najti ortonormirano osnovo matrike polnega ranga z navedbo tolerance v MATLAB?
Navedeni primer izračuna ortonormirana osnova dane kvadratne matrike A polnega ranga z velikostjo n=3 uporabljati orth() funkcijo s privzeto toleranco. Ker je A matrika polnega ranga, je velikost A in Q (ortogonalna osnova) je enak, kar je v tem primeru 3×3. Primer nato izračuna ortonormirana osnova A tako, da določite vrednost tolerance 0,5, da upoštevate vrednosti A, ki so nižje od 0,5, kot posamezne vrednosti. V A so tri singularne vrednosti, zato ima A dva ortonormirana stolpčna vektorja, ki ju vsebuje Qtol matrica.
A = rand ( 3 ) ;r = uvrstitev ( A )
Q = smer ( A )
Q_tol = ort ( A, 0,5 )
Zaključek
Iskanje ortonormirana osnova vektorskega prostora je pomemben koncept linearne algebre, ki je zapleten matematični problem. Vendar pa ga je mogoče preprosto in učinkovito rešiti z uporabo vgrajenega MATLAB-a orth() funkcijo. Ta članek je predstavil izvedbo te funkcije z uporabo različnih sintaks in primerov.